翌月10月分家賃支払いの請求書を2023年 9月に受け取る場合など、施行日（2023年10月 1日）をまたいでいる場合に適格請求書で受領する必要があるか

10月分家賃は貸主の売上の計上が施行日後の10月となるため、借主は仕入税額控除を受けるために適格請求書の保存が必要です。
一般的には10月末以後に、貸主に対して10月分家賃の適格請求書での交付を依頼します。

なお、適格請求書の記載事項で足りない「インボイス登録番号」だけを記載した書類を別途交付してもらい、9月に受領した請求書と一緒に保存する方法でも問題ありません。